連立一次方程式 行列 解を持つ条件 証明 8

を掃き出したとき、右端に残るのが 掃出しのできなかった列に対応する変数を \begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}-3\\2\\1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\-4\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&2&-2&-3\\0&0&2&2\\0&0&3&4\end{bmatrix}, \sim \begin{bmatrix}1&2&-2&-3\\0&0&1&1\\0&0&3&4\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_2/2\\\bm r_3\end{array}, \sim \begin{bmatrix}1&2&0&-1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1+2\bm r_2\\\bm r_2\\\bm r_3-3\bm r_2\end{array}, \sim \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1+\bm r_3\\\bm r_2-\bm r_3\\\bm r_3\end{array}. $$これを拡大係数行列にして階段行列を作ると以下のようになります。 2x+y &=& 5 &(3) \\ \bm e_k は、任意の \end{array} \begin{eqnarray} 0000025541 00000 n 0000018242 00000 n 0000028580 00000 n $$あ〜!3行目が右端だけになった(\({\rm rank}A \neq {\rm rank}[A \ \boldsymbol{b}]\))ので、「\(0=-3\)」という不可能な条件が浮かび上がってきて、ゆえに解なしです。 2 & -2 & 4 & 8 \\ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix} 0000023138 00000 n 0000017491 00000 n 2 & -2 & 4 & 8 \\ 0000034224 00000 n 【線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 \end{eqnarray} 【線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?】 \begin{array}{rclc} の右に単位行列 \left( 0000041862 00000 n AX=XA=I 連立一次方程式の持つ性質を理解する助けとするためのものだから。, [\,A\ \bm b\,]=\begin{bmatrix}1&-2&3&1\\3&1&-5&-4\\-2&6&-9&-2\end{bmatrix}, そこで、(1, 1) 要素を軸にして1列目を掃き出す 階段行列の2行目より、\(y=6\)であることは明らかで、これより(1)式が Nicework, Counter: 317658 (from 2010/06/03), \left( → これら3つは「(行に対する)基本変形」と呼ばれる, \left[\begin{array}{ccccl}1&0&\cdots&0&b_1^\prime\\0&1&&\vdots&\vdots\\\vdots&&\ddots&0&b_{m-1}^\prime\\0&\cdots&0&1&b_m^\prime\end{array}\right]=[\,I\ \bm b^\prime\,], のように 「単位行列と(始めと異なる)定数ベクトルが並ぶ形」 にできれば、 \begin{array}{rclc} \end{array} \begin{array}{ccccc} 行列がlu分解できるための必要十分条件(全ての主座小行列の行列式が0にならないこと)、およびlu分解する具体的な計算例について書かれています。 も定数, 変数に使う文字: 0000028382 00000 n z=a,\ w=b 勘違いして欲しくないのは、これは別に式が多いからではありません。式が多くても解が存在する例を次に示します。, 【例2】と変数と式の数が同じである以下の連立方程式 \begin{eqnarray} 0000041783 00000 n \end{array} 変数が4つまでであれば、 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \\ が与式の解となる。, ここでの "〜" は、同じ解を持つ連立方程式を表す行列であることを表す「同値関係」(これは専門用語なので余力があれば各自調べること)を表わす。, 基本変形による計算途中で、以下のように軸に取るべき要素がゼロになってしまう場合がある。, [\,A\ \bm b\,] = \begin{bmatrix}2&1&1&2\\4&2&3&1\\-2&-2&0&-1\end{bmatrix}, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&0&1&-3\\0&-1&1&1\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_2+2\bm r_1\\\bm r_3+\bm r_1\\\end{array}, 次に (2, 2) を軸に掃出しをしたいが、(2, 2) がゼロなので掃出しができない。, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&-1&1&1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_3\\\bm r_2\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&1&-1&-1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\-\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&0&2&3\\0&1&-1&-1\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1-\bm r_2\\\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}2&0&0&9\\0&1&0&-4\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1-2\bm r_3\\\bm r_2+\bm r_3\\\bm r_3\\\end{array}, \sim \begin{bmatrix}1&0&0&9/2\\0&1&0&-4\\0&0&1&-3\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1/2\\\bm r_2\\\bm r_3\\\end{array}, \therefore \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9/2\\-4\\-3\end{bmatrix}, たとえば、計算途中で次のようになった場合、2列目を掃き出せない 0000030208 00000 n 0000018191 00000 n 前回の記事で、連立方程式の係数と右辺の定数項部分をまとめた「拡大係数行列」というものを扱い、そこから行基本操作をチマチマ繰り返して得られる「階段行列」と、その「階数」について学習しました。, 大抵の場合は解を持ちますが、以下のような場合、連立方程式は成り立たなくなります。 0000043545 00000 n もうお察しのことと思いますが、非自明解は、必ずなんらかの変数が記号(定数)で表され、解を無数に持つことになります。, 情報系大学院の出身です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!. 1 &-1 & -2 \\ -3,\sqrt{2},a,b,c,\dots. について解けるようになれば、 0000040409 00000 n 上の行列はまだ階段行列でないので、階段行列になるまで行基本操作を繰り返しました↓ $$これを拡大係数行列にして階段行列を作ると以下のようになります。 を掃き出した結果は, \sim\Bigg[\ I\ \ \bm x_1\ \bm x_2\ \dots\ \bm x_n\ \Bigg]=\Big[\ I\ \ X\ \Big]=\Big[\ I\ \ A^{-1}\ \Big], A=\begin{bmatrix} 7&8\\ 8&9 \end{bmatrix} 後のためにもガウスの消去法は完璧にマスターしておくように。, 上記のように の1列目で決まる 0000043254 00000 n \end{eqnarray} \begin{eqnarray} 0 & 0 & 0 & 3 0000026026 00000 n a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\ \end{array} 0000018650 00000 n 0000016442 00000 n であること, \Big[\ A\ \ \bm e_1\ \Big]\sim \Big[\ I\ \ \bm x_1\ \Big], \Bigg[\ A\ \ \bm e_1\ \bm e_2\ \dots\ \bm e_n\ \Bigg] 0000019799 00000 n x+2y+z+w &=& 5 &(1) \\ , 定数 0000037357 00000 n 0000023766 00000 n \right) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} 個の連立方程式を全て解くのは大変だが、例えば \left\{ \begin{array}{l}x=-2a-1\\y=a\\z=1\end{array} \right . 0000042312 00000 n 0000035058 00000 n 連立1次方程式は加減法で解くことができますが,連立1次方程式を行列を用いて表すことにより,行列の変形を考えて解くこともできます.この行列を用いた解法を「掃き出し法」といい,線形代数の理論の基盤となる考え方です. 連立一次方程式 行列. x=1,\ y=3,\ z=2 0000024263 00000 n \MARU{9}\MARU{10}\MARU{8} に対して、1列目、2列目を掃き出した結果は次のようになる。 x=1,\ y=3,\ z=2, \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}. 0000043065 00000 n $$ について解になる。, (下の式が上の式のちょうど2倍になっているため、 0 & 0 & -3 \\ 0000018905 00000 n y. \right) 0000021753 00000 n 0000018752 00000 n $$これを変形する((3)に(2)の\(-\frac{1}{2}\)倍を加える)と、以下のようになります。 \begin{array}{ccccc} \end{array} 0000043167 00000 n \left\{\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+\cdots+&a_{1n}x_n&=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+\cdots+&a_{2n}x_n&=&b_2 \\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+\cdots+&a_{mn}x_n&=&b_m \\ \end{array}\right . 0 & 0 & 0 i \left\{ を並べた行列に掃き出し法を適用する。, \Bigg[\ A\ \ \ I\ \ \Bigg]=&\begin{bmatrix} 1&2&3&1&0&0\\ 2&4&5&0&1&0\\ 3&5&6&0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_1\\\bm r_2\\\bm r_3\end{array}\\ \sim&\begin{bmatrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&0&-1&-2&1&0\\ 0&-1&-3&-3&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_1\\\bm r_2-2\bm r_1=\bm r_4\\\bm r_3-3\bm r_1=\bm r_5\end{array}\\ \sim&\begin{bmatrix} 1&2&3&1&0&0\\ 0&-1&-3&-3&0&1\\ 0&0&-1&-2&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_1\\\bm r_5\\\bm r_4\end{array}\\ \sim&\begin{bmatrix} 1&0&-3&-5&0&2\\ 0&-1&-3&-3&0&1\\ 0&0&-1&-2&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_1+2\bm r_5=\bm r_6\\\bm r_5\\\bm r_4\end{array}\\ \sim&\begin{bmatrix} 1&0&0&1&-3&2\\ 0&-1&0&3&-3&1\\ 0&0&-1&-2&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_6-3\bm r_4=\bm r_7\\\bm r_5-3\bm r_4=\bm r_8\\\bm r_4\end{array}\\ \sim&\begin{bmatrix} 1&0&0&1&-3&2\\ 0&1&0&-3&3&-1\\ 0&0&1&2&-1&0\\ \end{bmatrix}\begin{array}{lll}\bm r_7\\-\bm r_8\\-\bm r_4\end{array}\\ &\hspace{2cm}\underbrace{\smash{\hspace{2cm}}}_{\displaystyle A^{-1}}, \therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&-3&2\\ -3&3&-1\\ 2&-1&0\\ \end{bmatrix}, 上記手順は、例えば 5, 6 列目を隠してみると \bm b = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}, A\bm x=\bm b \right) 2020/4/7 0000034437 00000 n 個の連立方程式の解を並べて書けば、それが逆行列である!(かもしれない), 逆行列の定義は 「解無し」が結論になる。, 本来なら、係数部分がすべてゼロで、定数部分が非ゼロの行ベクトルが現れた時点で「解無し」を結論できる。, 注2)繰り返しになるが、この方法は必ずしも「効率的な方法」を求めた物ではないが、 XA=I \begin{eqnarray} などは、教科書と同じ書き方で、直前の行列の 唯一、列数と階数が同じ\({\rm rank}[A \ \boldsymbol{b}] = n+1\)というシチュエーションが考えられますが、この場合は\({\rm rank}A=n\)なのが確定なので、\({\rm rank}[A \ \boldsymbol{b}] \neq {\rm rank}A\)となり、解なしであることがわかります。, \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)で表される方程式を同次形の方程式と呼ぶ。一般形は以下の通り。 ← šå½¢ç‹¬ç«‹ $\Longleftrightarrow$ 自明な解のみ」の証明, 「自明な解以外のを持つ $\Longleftrightarrow$ 係数行列の行列式 = 0 」の証明, クラメルの公式の証明と使用例. 次の連立一次方程式が解を持つために、b1b2b3b4が満たすべき条件をもとめよ。また、そのときの解をb1b2b3b4で表せ。よろしくお願いします。条件式と解を、解の方をx_3=t_1、x_4=t_2として計算したら、条件式も解も一致しましたので、問題 \left( を解く手順を並べて書けば, &\begin{bmatrix} &1\ \\ &0\ \\ \hspace{1cm}A\hspace{1cm}&0\ \\ &\vdots\ \\ &0\ \\ \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} &\phantom{1\ }\\ &\\ \hspace{1cm}\phantom{A}\hspace{1cm}&\phantom{0}\ \\ &\\ &\\ \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} &\phantom{1\ }\\ &\\ \hspace{1cm}\phantom{A}\hspace{1cm}&\phantom{0}\ \\ &\\ &\\ \end{bmatrix}\\ &\hspace{1cm}\vdots 0000002690 00000 n x,y,z a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\ 行目の行ベクトルを \end{array} 0000017542 00000 n \begin{eqnarray} 0000040307 00000 n 【線形代数3|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件】 A\bm x=\bm b に対して成立するため、 &\begin{bmatrix} &0\ \\ &1\ \\ \hspace{1cm}A\hspace{1cm}&0\ \\ &\vdots\ \\ &0\ \\ \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} &\phantom{1\ }\\ &\\ \hspace{1cm}\phantom{A}\hspace{1cm}&\phantom{0}\ \\ &\\ &\\ \end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix} &\phantom{1\ }\\ &\\ \hspace{1cm}\phantom{A}\hspace{1cm}&\phantom{0}\ \\ &\\ &\\ \end{bmatrix}\\ &\hspace{1cm}\vdots, となるが、「係数行列の等しい方程式の掃き出し手順は定数項によらず等しくなる」ことに気付く。 0000028992 00000 n $$ \left\{\begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c}x&&&=&1\\&y&&=&3\\&&z&=&2\end{array}\right . \left\{\begin{array}{l} x+2y=-1 \\ 3x+y=2 \end{array}\right . 1 &-1 & -2 \\ yesterday: 0, 大きな次数の計算は「行き当たりばったり」では困るので、 $${\rm rank}[A \ \boldsymbol{o}]\�Gy��=b�n�Jsy�w�i��'��e�&�fU�X�vk��,k�|����)��C#qےT�+�;':2o;��9Sx� ��LF��d����}g�m��{�ƃ+'Z �-�)��&��@����w��+��d�{`$r����� '�Az�n +�e!r1�N��Č�L.ˬ�|7N�N�4�u�fs'�/�jb��a;R(l�_x��Oړ+u�Dw�%�FWN�Qn��43+�O�@O���%&,K��m)� �. \left\{\begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c}x&&&=&b_1^\prime\\&y&&=&b_2^\prime\\&&z&=&b_3^\prime\end{array}\right . 0000041393 00000 n $$, このような連立方程式を拡大係数行列で表すと、一番右の列が全て0になるので、 2x-2y+4z &=& 8 &(2) \\ 0000043443 00000 n n に対しても成り立たないため、 \bm x_1 \right. 1&1&4 \\ 階数の定義から、階数が階段行列の列数を上回ることはありません。階段行列の「段差」が1増える度に、左から並ぶ0の数が1つ以上増えるので、少なくとも階数が列数を上回ると、左から並ぶ0が列数より多くなるというあり得ない状況が生じます。 【線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 0000035240 00000 n \bm r_1 0000042852 00000 n \bm x=A^{-1}\bm b \right. A 【線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?】 が正方行列であれば、 I と書いている。あくまでメモ代わりだが、書いておくと計算間違いなどを防ぎやすい。, (2, 2) 要素を軸に掃き出したいが、他の行が7で割り切れないので、まずは2行目に 1/7 を掛けて (2, 2) 要素を1にしておく。, \sim \begin{bmatrix}1&-2&3&1\\0&1&-2&-1\\0&2&-3&0\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1\\\bm r_2/7\\\bm r_3\\\end{array}, そして、(2, 2) 要素を軸に2列目を掃き出す。ここでは1行目に2行目の2倍を、3行目に2行目の−2倍を加えればよい。, \sim \begin{bmatrix}1&0&-1&-1\\0&1&-2&-1\\0&0&1&2\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1+2\bm r_2\\\bm r_2\\\bm r_3-2\bm r_2\\\end{array}, (3, 3) 要素は1なので、そのまま軸にして3列目を掃き出す。1行目に3行目をそのまま、2行目には2倍して加えればよい。, \sim \begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&3\\0&0&1&2\end{bmatrix}\begin{array}{l}\bm r_1+\bm r_3\\\bm r_2+2\bm r_3\\\bm r_3\\\end{array}.

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