四 角錐 の体積 問題 5

 底面積\(\,\mathrm{DQRH}\,\)の面積と高さ\(\,h\,\)  中心角の比も \(\displaystyle \frac{5}{12}\) (単位は省略しておきます。) 空間も平面の組み合わせでできているのです。, \(\,\color{red}{(柱体の体積)=(底面積)\times (高さ)}\,\), \(\begin{eqnarray}\displaystyle  \(\begin{eqnarray}\displaystyle 立体はイメージしにくいです。 五角錐の体積です。 最後は捨ててでもそれまでを十分に取れるだけの基本を身に付けておくと良いですね。, クラブ活動で忙しい! 体積は \(6cm^3\) です。, 底面が \(OAB\)  \(\hspace{10pt}\displaystyle \pi\times (12)^2\times \frac{150}{360}\\ &=&144+36\\ (急いで入力したので間違いがあればご指摘ください。), 最後の問題は\(\,5\,\)点です。 V_3&=&\frac{1}{3}\times \color{blue}{2} \times \color{red}{6}\\ \(16-(13-2\sqrt{13}x+x^2)=9-x^2\) 塾に通っているのに数学が苦手! (赤線は引く錐体の高さとなる部分です。)   高さを \(CE\) この垂線の長さが聞かれていることです。 \(OQ\) の長さは、三角形 \(OAQ\) に三平方の定理を使うだけです。 \end{eqnarray}\), 円錐の展開図は扇形と円となります。 入試などの応用問題ほどこの、「全体から一部を引く」というのを活用するようになります。   =60\,\pi\), と、求まりますが、扇形の弧の長さがわかっているときは、次の公式が使えます。 &=&150 点\(\,\mathrm{C}\,\)から面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)に下ろした垂線と平行に移動することになるので、 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.   \end{eqnarray}\), これは底面である長方形の面積を先に出しておけば気がつくことなので、 &=&\frac{1}{2}\times \color{blue}{6\sqrt{5}}\times \color{red}{8}\\  点\(\,\mathrm{P}\,\)が頂点\(\,\mathrm{C}\,\)にあるとき 内容が濃いため、解説は \(2\) ページに分けます。, 図示して考えるに決まっています。 底面の長方形\(\,\mathrm{DQRH}\,\)の面積は 空間図形も平面図形の組み合わせなので利用する基本は平面と同じです。 &=&8^2+6^2\\ 底面の\(\,\mathrm{△AEF}\,\)の面積は\(\,\color{blue}{2}\,\)で、 \end{eqnarray}\), 基本的にはこれでいいと思います。 円錐(すい)の表面積や側面となる扇形の面積と四角錐や五角錐の体積の求め方の説明です。 長方形\(\,\mathrm{DQRH}\,\)と平行になる長方形\(\,\mathrm{WXYZ}\,\)は  \(\mathrm{PQ}=\color{blue}{6\sqrt{5}}\), よって 数学の勉強時間を減らしたい!  \(\begin{eqnarray} 算数の問題について質問です。正四角錐は辺が同じ長さの正四面体の2倍の体積なのだそうですが、それがイマイチ何故そうなのか理解出来ません。理解できるようにわかりやすく解説して頂きたいです。よろしくお願いします。正四面体は四面 下の図のように、\(CE\) から \(ND\) を求めろ、ということです。 &=&\frac{360\times 5}{12}\\ なので、 \mathrm{PS}&=&\frac{9\times 6}{6\sqrt{5}}\\ なので公式を覚えていれば、  辺\(\,\mathrm{DQ}\,\)と辺\(\,\mathrm{AF}\,\)(辺\(\,\mathrm{PQ}\,\))も垂直 体積の利用 \(ce\) の長さは、底面を三角形 \(oab\) と見たときの 三角錐の髙さになっています。 つまり「体積」から計算できます。 その1で、「(1)この正三角錐の体積を求めなさい。」 を解説しております。 体積は \(6cm^3\) です。 底面が \(oab\) 高さを \(ce\)  \(\begin{eqnarray} この結果を使うに決まっています。 半径\(\,12\,\)の円周は\(\,24\,\pi\,\)です。 \end{eqnarray}\), 泥くさくても答えを出すことが優先される試験会場だと、 三角錐でも四角錐でも円すいでも同じです。 これで \(CE\) が計算できます。, \(OAB\) の面積から求めましょう。   つまり「体積」から計算できます。, その1で、「(1)この正三角錐の体積を求めなさい。」 図のようになり、 求まる形になっています。   &=&\color{blue}{4\sqrt{5}\times 12}  \(\,\mathrm{CP:PF=3:5}\,\) 空間図形は平面図形の組み合わせでできていると考えれば、平面図形の基礎知識は十分にしておいた方が良いですよ。, (1) では、高さとなる\(\,\mathrm{PS}\,\)を求めに行きましょう。 &=&\frac{1}{3}\times (底面積)\times (高さ) と問題に書いてあるので、\(\,\mathrm{△AEF}\,\)の面積は, \(\displaystyle △\mathrm{AEF}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\,=\,\color{blue}{2}\), \(\color{magenta}{16}-\color{blue}{2}\,=\color{red}{14}\), 高さは正四角錐\(\,\mathrm{O-ABCD}\,\)と同じ\(\,\color{red}{6}\,\)で変わっていません。, \(\begin{eqnarray}\displaystyle \mathrm{PQ}&=&\pm 6\sqrt{5} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}). &=&\underline{ 144 } 相似を使えば簡単に求まります。, 三平方の定理から &=&\color{red}{60\,\pi} \displaystyle =\pi\times (12)^2\times\frac{5}{12}\\ &=&\underline{ 28 } (\mathrm{cm^3}) 問題なのは高さとなる\(\,h\,\)です。, これは点\(\,\mathrm{P}\,\)を通る面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)に平行な面で切り取れば分かるのですが、 V&=&\frac{1}{3}\times\color{blue}{ 4\sqrt{5}\times 12}\times \color{magenta}{\frac{9}{\sqrt{5}}}\\  \(\begin{eqnarray}  長方形\(\,\mathrm{DQRH}\,\)と平行な面で点\(\,\mathrm{P}\,\)を通る長方形 (錐体の体積)&=&(柱体の体積)\times \color{red}{\frac{1}{3}}\\ 数学の勉強方法が分からない!.  \(\begin{eqnarray} &=&4 公式があります。, 側面積に限った公式であることもそうですが、展開図を書くという手順を飛ばしているからです。 &=&\left(\color{red}{2}+\color{blue}{\frac{5}{2}}\right)\times \color{red}{8}\\ の垂線の長さから 覚えいるけどミスをする人もいます。  (長方形\mathrm{DQRH})&=&\,\mathrm{DQ}\times \mathrm{QR}\,\\ 高さが問題になるということで、高さの話を先にしただけです。 数学では、前の小問の結果を利用して次を解くということが 代表的な \(2\) つの解き方を確認しておきましょう。, \(CE\) の長さは、底面を三角形 \(OAB\) と見たときの &=&\color{magenta}{\frac{9}{\sqrt{5}}} と、ちょっと考えますよね。, だから、 なので四角柱から4つの錐体を引いても良いですね。 正方形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)から\(\,\mathrm{△AEF}\,\)を切り取れば求まります。, 「\(\,\mathrm{E}\,\),\(\,\mathrm{F}\,\)は中点」  \(\displaystyle 2\times\pi\times 12\times \frac{ 中心角 }{360}=10\,\pi\) 円錐(すい)の表面積や側面となる扇形の面積と四角錐や五角錐の体積の求め方の説明です。 体積を求める公式はありますが、公式そのもので求める問題は多くありません。 立体では大切なポイントがありますので錐体の表面積や体積を求め …  高さは高さを含む面だけを抜き出します。, 五角形(底面だけ)を抜き出すと、 立体では大切なポイントがありますので錐体の表面積や体積を求める場合でも確認しておきましょう。, 扇形については平面図形でも説明していますが、再度空間図形のテーマとして取り上げておきます。 それまでは基本問題が並んでいるので、合格点を確保するなら、 点 \(N\) から面 \(OAB\) へ垂線を下します。 を解説しております。 \end{eqnarray}\), よって求める体積は、全体から三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)を引いて, \(32-4=\underline{ 28 } (\mathrm{cm^3})\), 体積の問題は、「難しい」と感じたら、「全体から部分を引く」と思い出して下さい。 平行四辺形\(\,\mathrm{DQYX}\,\)の面積が求まります。, \(\begin{eqnarray}\displaystyle &=&80\\ 底面が正方形で、正四角錐なので、底面の対角線の交点上に高さとなる垂線は下りてきます。, (2)  \(\begin{eqnarray} 高さ自体を求めることから問題になりますが、三平方の定理(\(\,3\,\)年)を習ってからです。 順番としてはおかしくはないでしょう。 \mathrm{TP:TV}&=&\mathrm{PS:VU}\\ \(\sqrt{13}x=3\), \(x=\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{13}\), \(EC^2=3^2-\displaystyle (\frac{3\sqrt{13}}{13})^2\), \(EC=\sqrt{\displaystyle \frac{108}{13}}\), \(EC=\displaystyle \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{13}}\), \(EC=\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\), \(EC=\displaystyle \frac{6\sqrt{3}×\sqrt{13}}{13}\), \(EC=\displaystyle \frac{6\sqrt{39}}{13}\).  底面は底面を含む面だけを抜き出します。 どれが適切なのか、理解しやすいのか人によって違ってくるでしょう。 点\(\,\mathrm{Q}\,\)が頂点\(\,\mathrm{A}\,\)に一致するときの\(\,\mathrm{△DQP}\,\)の面積を求めます。このとき、(\(\,\mathrm{ABCD-EFGH}\,\)は直方体) \(3+2\sqrt{13}x=9\) 点\(\,\mathrm{P}\,\)が\(\,\mathrm{CP:PF=3:5}\,\)という条件を満たしたときの垂線は、 (\mathrm{DQYX})&=&\mathrm{QY}\times \mathrm{AD}\\  辺\(\,\mathrm{DA}\,\)(辺\(\,\mathrm{DQ}\,\))と面\(\,\mathrm{AEFB}\,\)は垂直 これも必須知識です。 24\pi\times x&=& 360\times 10\pi\\ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}). \end{eqnarray}\), です。 \mathrm{PQ^2}&=&\mathrm{AE^2+EF^2}\\ \(16-13+2\sqrt{13}x-x^2=9-x^2\) これも、底面の形には関係はありません。 V_{1}&=&\frac{1}{3}\times \color{red}{16}\times \color{red}{6}\\ (底面を水平にしていれば頂点から水を垂らして落下する点までの距離が高さです。), 点\(\,\mathrm{P}\,\)が線分\(\,\mathrm{CF}\,\)上を移動した場合、 \(EC^2=4^2-(\sqrt{13}-x)^2\)・・・①, \(4^2-(\sqrt{13}-x)^2=3^2-x^2\) \(Q\) はもちろん \(AB\) の中点です。, とりあえず、(2)で点 \(N\) の位置を求めたわけですから、 数学の勉強時間を減らしたい! 円錐(円すい)の問題ですが、立体と考えず平面で考えればただの中心角の問題です。, そして、大切なことは、 数学の勉強方法が分からない!. (\color{red}{4}+\color{red}{5}):(\color{blue}{2\sqrt{5}}+\color{blue}{4\sqrt{5}})&=&PS:6\\ ここでは簡単そうだったので下の図の部分から長さを出しました。 ということですね。, \(2\times\,\pi\times(5)=\color{red}{10\,\pi}\), 弧の長さも同じで \(\,\color{red}{10\,\pi}\,\) となっています。, 「おうぎ形の中心角を求めよ。」 \(OQ^2+\sqrt{3}^2=4^2\) \mathrm{S}&=&\frac{1}{2}\times 12\times 10\,\pi\\ 高さとなる垂線は面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)に平行になります。 を求める方法が考えられます。  \(\,\mathrm{AB=6\,,\,AD=8\,,\,AE=12}\,\) この問題の円錐の表面積を求めましょう。, \(\pi\times (5)^2=\color{red}{25\,\pi}\) &=&\underline{ 32 } (\mathrm{cm^3}) 体積を求める公式はありますが、公式そのもので求める問題は多くありません。 図に点\(\,\mathrm{P}\,\)や点\(\,\mathrm{Q}\,\)を書き込みさえすればですけどね。, 〔問2〕の求め方がいろいろとあるので、めんどくさ、、、いわけではないけれど、  \(\,(部分)=(全体)-(部分)\,\) 6\sqrt{5}\mathrm{PS}&=&9\times 6\\ 底面は?高さは?  底面の円周と扇形の弧の長さが等しい (3)面 \(OAB\) と点 \(N\) との距離を求めなさい。, やや難しいですが、とても学習効果の高い良問です。 ということですよ。, \(\,24\pi\,\)で\(\,360°\,\)なら\(\,10\pi\,\)のときの中心角は?, という関係から比例式を立てると、求める中心角を\(\,x\,\)とおいて、  \(\,\mathrm{AQ=4}\,\) 中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。. 相似を使って長さを出すのはどの相似でも良いです。 柱体の体積を聞かれているのに\(\,\displaystyle \frac{1}{3}\,\)をかけてしまったり、 2020年(令和2年)に行われた東京都立入試前期の第5問立体問題の解説です。 よって、\(OAB\) の面積は, \(2\sqrt{3}×\sqrt{13}×\displaystyle \frac{1}{2}=\sqrt{39}(cm^2)\), \(\sqrt{39}×CE×\displaystyle \frac{1}{3}=6\), \(CE=\displaystyle \frac{6\sqrt{39}}{13}\), \(ND\) は \(EC\) の \(\displaystyle \frac{5}{8}\) 倍なので, \(ND=\displaystyle \frac{6\sqrt{39}}{13}×\displaystyle \frac{5}{8}\), \(ND=\displaystyle \frac{15\sqrt{39}}{52}\), 三角形 \(OEC\) と三角形 \(QEC\) に三平方の定理を用いれば \end{eqnarray}\), 四角柱の体積はこれに高さとなる\(\,\mathrm{AE=12}\,\)をかけて, \(\displaystyle \frac{9}{2}\times 8\times 12\), よって求める錐体の体積\(\,V\,\)は 三平方の定理を利用して四角すい、円すいの体積を求める問題です。まずは基本的な円錐、正四角錐の体積の求め方をしっかり確認してから、いろいろな応用問題を解くようにしてください。円錐の体積下のような底面積の半径が6cm、母線の長さが9cmの円錐の体積を求めます。 \end{eqnarray}\), なので分かる部分の長さを書き込みます。 垂線の足を \(D\) とします。 &=&\color{black}{\fbox{ \(\,24\,\) }}\sqrt{\color{black}{\fbox{ \(\,5\,\) }}}  三角形 \(OEC\) と三角形 \(ODN\) がピラミッド型の相似になっています。, つまり、 \(CE\) の長さを求めて、\(\displaystyle \frac{5}{5+3}=\displaystyle \frac{5}{8}\) 倍すれば \(ND\) が求まります。, では \(CE\) はどうやって求めるのか。 V&=&\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}\times 8\times 12\\ 合わせると求める表面積が求まります。, \(\color{red}{60\,\pi}+\color{red}{25\,\pi}=\underline{ 85\,\pi } (cm^2)\), 展開図にすれば、平面で考えることができます。 いきなりだとわかりにくいと思うので少し説明しておきます。, 例えば点\(\,\mathrm{P}\,\)が頂点\(\,\mathrm{C}\,\)にあるとき、 これを整理します。 V_{2}&=&\frac{1}{3}\times 14\times 6\\  \(\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\), 答え \(\color{black}{\fbox{ さしす }}\) \(\,\underline{ 144 }\,\), 他にもいくつか方法はありますが、 \mathrm{△DQP}&=&\frac{1}{2}\times \mathrm{PQ}\times \mathrm{DQ}\\ その\(\,\displaystyle \frac{5}{12}\,\) は、, \(\displaystyle 360^{\circ}\times\frac{5}{12}=\underline{ 150^{\circ} }\), \(\displaystyle \frac{ \color{blue}{(底面の円の周)} }{\color{red}{(母線)}}\times 360^{\circ}\) \end{eqnarray}\), \(\,\mathrm{PQ}\,\)は長さだから\(\,\mathrm{PQ>0}\,\)で 錐体の体積を求めるときに\(\,\displaystyle \frac{1}{3}\,\)をかけ忘れたり、 という単純なミスです。  \(\,\color{red}{(扇形の面積)=(弧の長さ)\times(扇形の半径)\div 2}\,\), 数学らしく書くと、扇形の面積\(\,\mathrm{S}\,\)は、おうぎ形の半径\(\,r\,\)と弧の長さ\(\,\ell\,\)を用いて、, \(\displaystyle \color{red}{\mathrm{S}=\frac{1}{2}\,r\,\ell} \), となります。 もちろん、すべての円錐で成り立つので側面積を出す場合は使って良いですよ。, 扇形は平面図形での大きな計算テーマですので復習しておきましょう。 平面として抜き出せば基本的な相似問題になります。, \(\,\mathrm{ABCD-EFGH}\,\)は直方体 で作られる四角柱になります。, ちょっと説明を省きますが、 その体積は \(6cm^3\) &=&12^2+6^2\\ ポイントは三平方の定理の利用と四角錐の体積の高さとなる垂線を求めるだけですが、錐体の体積の基本に戻ると別解が見えてきます。, 見つけいにくいのは〔問2〕の四角錐の体積を求めるときの高さですが、 (2)線分 \(ON\) と線分 \(NC\) の長さの比を求めなさい。 面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)と面\(\,\mathrm{DQRH}\,\)は面どうしが垂直なので、 今回は、下図のような三角形 \(OQC\) に着目します。 ですが、公式化するより図を書いて考える方を優先した方がいい段階です。, 弧の長さの比は \(\displaystyle \frac{10\pi}{24\pi}=\frac{5}{12}\) よって、求める立体\(\,\mathrm{P-DQRH}\,\)の体積\(\,V\,\)は よくありますので、これも意識しておきましょう。, つまり、\(ON:NC=5:3\) とは、 \end{eqnarray}\), 分母は有理化しても良いですが、 見慣れないうちはわかりにくいでしょうけど 三角形の面積の公式と同じ形をしています。, \(\begin{eqnarray}\displaystyle 三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)の高さも同じ赤線の\(\,\color{red}{6}\,\)なので、, 三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)の体積\(\,V_3\,\)は、, \(\begin{eqnarray}\displaystyle 問題が何を聞いているかは、問題をよく読んで確認しましょう。, \(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times (底面積)\times (高さ)\), \(\begin{eqnarray}\displaystyle 何度も言っていることですが、数学の答えは1つでも、求め方は1つではないんですよ。, 〔問2〕は立体\(\,\mathrm{P-DQRH}\,\)の体積、つまり四角錐の体積を求める問題です。, 点\(\,\mathrm{Q}\,\)を通り\(\,\mathrm{AE}\,\)に平行な線と\(\,\mathrm{EF}\,\)との交点を\(\,\mathrm{R}\,\) 2020年(令和2年)に行われた東京都立入試前期の第5問立体問題の解説です。 空間図形も平面図形の組み合わせなので利用する基本は平面と同じです。 ポイントは三平方の定理の利用と四角錐の体積の高さとなる垂線を求めるだけです … x&=&\frac{360\times 10\pi}{24\pi}\\ このとき底面となる四角形\(\,\mathrm{DQRH}\,\)は長方形です。 と (図の赤線の長さが等しい、) 「最短距離」を意味しているので垂直に下りていなくてはなりません。 &=&180\\ 点\(\,\mathrm{P}\,\)から面\(\,\mathrm{DQ}\,\)に垂線を下ろすとそれが高さになります。錐体の高さは頂点と底面との距離で、 より \(\sqrt{13}cm\) です。 24\pi:360&=&10\pi:x\\ それほどややこしい計算はありません。, もう一つ、最初に解いた四角錐の高さは、 \end{eqnarray}\), この問題では高さが与えられますが、入試レベルになると頂点から底面のどこに垂線が下りるかが問題になることが多いです。 面積を出して底辺を変えるという回りくどい方法もありますが相似を利用した方が早いです。 になっています。, つまり、\(\,\mathrm{△DQP}\,\)は直角三角形なので面積は簡単に求まります。, 三平方の定理から  \(\,\mathrm{△TSP}\,\) ∽ \(\,\mathrm{△TUV}\,\) \(QE=x(cm)\) とおきます。, \(OQ\) の長さは、上の解法でも求めましたが \(\sqrt{13}cm\) です。, 三角形 \(OEC\) より  四角錐の体積は四角柱の体積の\(\displaystyle \,\mathrm{\frac{1}{3}}\,\) \(ND\) の長さが求める長さ、最終目標です。, 空間図形において、注目しているものを含む平面で考える。 9:6\sqrt{5}&=&\mathrm{PS}:6\\ となる点\(\,\mathrm{P}\,\)を通るので平面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)を抜き出すと、 そのうち\(\,10\,\pi\,\)は、, \(\displaystyle \frac{10\,\pi}{24\,\pi}=\frac{5}{12}\), だから、1周のとき\(\,360^{\circ}\,\)なので、 高さは頂点から底面に垂直に下ろした垂線の長さになるので、上の図の赤い線が高さです。 \mathrm{DQ}&=&\color{blue}{4\sqrt{5}} (>0) \(\,\mathrm{△AQD}\,\)と\(\,\mathrm{△BYP’}\,\)が相似なので線分\(\,\mathrm{QY}\,\)の長さが簡単に求まるので、 &=&\frac{9}{2}\times 8 塾に通っているのに数学が苦手! 下の図のような、 \(1\) 辺の長さが \(2\sqrt{3}cm\) の正三角形 \(ABC\) を底面とし、他の辺の長さが \(4cm\) の正三角錐がある。辺 \(BC\) の中点を \(M\) とし、辺 \(OC\) 上に線分 \(AN\) と線分 \(NB\) の長さの和が最も小さくなるように点 \(N\) をとる。このとき、次の問いに答えなさい。, (1)この正三角錐の体積を求めなさい。  点\(\,\mathrm{P}\,\)が頂点\(\,\mathrm{F}\,\)にあるとき なので、  点\(\,\mathrm{Q}\,\)は辺\(\,\mathrm{AB}\,\)上の点(\(\,\mathrm{B}\,\)には一致しない), 〔問1〕点\(\,\mathrm{P}\,\)が頂点\(\,\mathrm{F}\,\)にあり、  点\(\,\mathrm{P}\,\)が\(\,\mathrm{CP:PF=3:5}\,\)となるとき  \(\,\mathrm{CP:PF=3:5}\,\) の長さを求めて体積を出しました。確認して見てください。, \(\,2020\,\)年東京都立高校前期入試の数学は以上です。 表面積は、扇形の面積と、底面の円の面積を足すだけです。, 扇形の面積は普通に求めれば、中心角が\(\,150°\,\)と分かっているので 求める立体が四角錐なので、 \(2\sqrt{13}x=6\) &=&\underline{ 144 } 三角錐の髙さになっています。 なので \end{eqnarray}\), 底面の半径と母線の長さが分かっている円錐の側面積をもめる場合は、

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